Hej koledzy

Szukam kogoś dobrego z matmy gdyż muszę rozwiązać pewne zadanie. Otóż załóżmy że mam przewód światłowodowy w cenie, powiedzmy, 100 tys PLN/km. Muszę ten przewód poprowadzić od jakiejś wyspy na morzu do serwerowni na lądzie. Koszt ułożenia takiego światłowodu w wodzie to powiedzmy 1000 tys PLN/kilometr a na lądzie 500 tys PLN/kilometr.

Przyjmując że wyspa to punkt odniesienia Pw=(0,0), przez punkt (6,0) przechodzi prosta rozdzielająca dwa obszary, a serwerownia to Ps=(15,6) muszę znaleźć przebieg ułożenia kabla aby koszty były jak najmniejsze.

Próbowałem problem rozwiązać w taki sposób że przyjąłem że oba odcinki to linie proste i zmieniałem tylko punkt przejścia z obszaru 1 do 2 i coś tam policzyłem ale prowadzący mówi że to rozwiązanie jest błędne. Macie może pomysł jak to ugryźć?

Kurcze, spedza mi to sens z powiek

Wrzuć rysunek, albo opisz dokładniej - nie wiem dla przykładu, jak przebiega linia podziałowa - jest pionowa, czy jakaś inna ?
A do tego piszesz o dwóch odcinkach a ja tu widzę tylko punkt startowy i docelowy

Wszystko zależy jeszcze od tego jak przebiega "linia brzegowa".
A to dlatego, że trasa najkrótsza wcale nie musi być najtańsza.
Potrzebna jest optymalizacja czyli znalezienie minimum funkcji.

_________________
Jestem początkujący i moje porady mogą być błędne

y - koszt ułożenia w wodzie (1000 tys/km), y=2x
x - koszt ułożenia lądem (500 tys/km)

Opcja pierwsza najpierw 6 jednostek w wodzie, a później 15 jednostek lądem:
6y + 15x = 12x + 15x = 27x
Obliczamy całkowity koszt:
27 * 500 tys/km + 27 * 100tys/km = 16200 tys/km

Opcja druga po skosie (wszystko w wodzie):
Liczymy sumę przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o bokach 6x i 15y
6y*6y + 15x*15x = 36y*y + 225x*x = 36*2x*2x + 225x*x = 144x*x + 225x*x = 369x*x
Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obliczonej sumy, aby wyliczyć przeciwprostokątną:
sqrt(369x*x) = 19.2x
Obliczamy całkowity koszt:
19.2 * 500 tys/km + 19.2*100tys/km = 11520 tys/km

Panowie, wrzucam moją próbę rozwiązania tego zadania w załączniku.



Ja wiem tylko skoro to nie są linie proste to co w takim razie? Wzór na długość wykresu funkcji jest z całkami, ok to przełknę ale jak znaleźć wzór funkcji dla której wykres czyli jej przebieg da najbardziej optymalny koszt ułożenia kabla... Masakra jakaś.

Wymyśliłem najpierw że będę manipulował jednym punktem (rysunek poniżej) i rozwiązanie tego jest w pdfie w załączniku. Ale prowadzący odpisał tylko lakonicznie że to rozwiązanie jest nieprawidłowe... Nie wiem już jak się za to zabrać




Może ktoś z WAS ma pomysł? Zadanie to w pdf ma inne dane trochę i ono jest tym właściwym.

------------------------ [ Dodano po: 1 minucie ]

aaa, nie chce brón Boze gotowca... chce tylko dobrej rady..

Coś mi się zdaje że to jest podobne do twierdzenia chyba sinusów o załamaniu światła w dwóch ośrodkach w którym prędkość w jednym ośrodku to v1 a w drugim to v2. Światło nie pójdzie po linii prostej od A w ośrodku 1 do B w ośrodku 2 po prostej, tylko wzdłuż takiej drogi żeby czas był najkrótszy.Dłuższą drogę zrobi tam gdzie prędkość jest większa. U Ciebie kabel będzie kładziony dłużej tam gdzie jest niższy koszy czyli na lądzie. Spójrz na https://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo_Snelliusa. Czyli kąty takie jak we wzorze tylko zamiast n1/n2 powinno być n2/n1. Jak policzysz kąty to wszystko jasne.

Witam

Ogólnie, to możesz napisać funkcjonał i go zminimalizować.
Tak bardziej "użytecznie", to:
- ustal z prowadzącym (albo z notatkami z przedmiotu (-: ) coś bardziej szczegółowo (czy współrzędne całkowite i odcinki to twój pomysł, czy tak ma być, rozwiązanie analityczne czy numeryczne, preferowana metoda, preferowana baza, ... ).

Pozdrawiam

|PbrzegPPGZ| = ....(15 − 10)....
no i jeszcze "Musimy tak manipulować współrzędną X2 w punkcie Pbrzeg=(0,X2) aby otrzymać jak najmniejszy koszt inwestycji."
Pbrzeg=(5,X2) ?
to jest błędne przynajmniej w kilku miejscach się to pojawia;) ale to jedyne co widzę błędnego (powinno być pierwiastek z 15-5 ) ale i tak wynik jest dobry wg mnie

http://www.wolframalpha.com/input/?i=min(sqrt(x%5E2%2B25)*1308+%2B+sqrt((6-x)%5E2%2B100)*608)

żadna krzywa nie będzie bardziej optymalna niż linia prosta w każdym z dwóch obszarów, więc pozostaje tylko zoptymalizować punkt "przegięcia" - tak myślę
Niepokoi mnie jedno zdanie - "Odległość w linii prostej między farmą wiatrową a GPZ wynosi d3" ...
wydaje mi się że to po prostu niegroźna ciemnota ze strony prowadzącego aczkolwiek nigdy nic nie wiadomo

Prowadzący przedmiot niestety nie udziela żadnych wskazówek. Mi odpisał w sposób lakoniczny że rozwiązanie jest nieprawidłowe. Jest to przedmiot który ma chyba najniższą zdawalność na moim kierunku.

Nie mam pojęcia jak droga może być krótsza niż po linii prostej. No chyba że ugniemy czasoprzestrzeń.

------------------------ [ Dodano po: 1 minucie ]



Myślisz że trzeba go jakoś "zaokrąglić" ? Tylko jak to matematycznie zrobić żeby było poprawnie.

nie - miałem na myśli że podejście z dwoma odcinkami jest dobre.
Może tak żeby nie było wątpliwości - krzywa musi przeciąć linię brzegową prawda? (powiedzmy w punkcie P)
Jeśli przecina ona linię brzegową to znaczy że można podzielić tą krzywą na dwie krzywe w obszarze 1 oraz w obszarze 2 (powiedzmy k1 i k2)
Jeśli najbardziej optymalna ścieżka prowadzi przez punkt P to znaczy że krzywa k1 łączy (0,0) i P a k2 łączy P i (6,15)
Ponieważ k1 i k2 są niezależne od siebie (ich kształt itp nie zależy od kształtu tej drugiej) można je minimalizować osobno z uwzględnieniem tego że są zaczepione w punkcie P
Ponieważ na całej długości k1 obowiązuje taki sam koszt za jednostkę kabla tak samo jak na k2 (ale inny koszt)

Czyli jeśli jakieś "zaokrąglenia" wchodziły by w grę to by znaczyło że linia prosta nie jest najbardziej optymalna przy połączeniu dwóch punktów.

Myślę że jeśli to co pokazałeś tutaj to jest to samo co oddałeś prowadzącemu to problemem były te błędy o których wspomniałem wcześniej...

Witam



Ta droga nie ma być krótka, ale ma minimalizować koszt .
No, ale chyba nie wymyślił zadania "ni z gruszki ni z pietruszki", a przez całe zajęcia mówił o obróbce skrawaniem? Jeżeli przedstawiłeś rozwiązanie które załączałeś powyżej i nie zostało ono przyjęte, to raczej wskazuje na to, że oczekiwane jest jakościowo inne podejście. Gdyby udało Ci się znaleźć jakiś "trop" w notatkach, nazwie przedmiotu, programie wykładu, czy innych źródłach, to by bardzo ułatwiło.

Pozdrawiam

Tak wiem. To był skrót myślowy.



Na wykładzie było omówionych tylko kilka metod numerycznych optymalizacyjnych. Nie robiliśmy żadnych zadań niestety. No cóż. Muszę to jakoś ogarnąć...

A te metody omówił nie na przykładach? Tak po prostu wydrukował z wikipedii opis? Może je jakoś nazwał?

_________________
Podpis...

Przykład był w stylu: gotowa funkcja -> znajdowanie maksimum minimum. To umiem zrobić. Tu właśnie chodzi oto żeby tą funkcję celu wyznaczyć bo widocznie ta którą wyznaczyłem nie spełnia oczekiwań.

Pomyślałem że może prowadzący burzy się dlatego że nie rozwiązałem równania pochodnej analitycznie. Próbowałem tą pochodną analitycznie rozwiązać (po przyrównaniu do zera) ale niestety wychodzą jakieś kosmiczne wielomiany i nawet wolfram nie potrafi podać analitycznego rozwiązania krok po kroku. Próbowałem również z prawa Sneliusa ale niestety sam stosunek sinusów i znajomość długości 1 z 3 boków obu trójkątów chyba nie wystarczą.

Dziękuję wszystkim za pomoc i chęci. Doceniam Wasze zaangażowanie i odwdzięczam się skromnym pomógł. Chyba dyplom będę musiał bronić za rok

Myślę, że nie będzie aż tak źle! Głowa do góry kolego! Nie ma co się tak szybko poddawać!
Może warto byłoby zapytać jakiegoś innego profesora na uczelni? Może doktoranta?
A może ktoś coś jeszcze tutaj wymyśli?

To jest dokładnie ten sam problem. Światło biegnie z punktu A w powietrzu do puntu B np. w w wodzie. W pierwszej chwili wydawałoby się że powinno lecieć po linii prostej. Ale nie. Ono biegnie tak żeby czas "przelotu" był najkrótszy. Tzn droga tam gdzie jest szybsze- w powietrzu ( u ciebie niski koszt połozenia kabla) będzie trochę dłuższa a tam gdzie wolniejsze- wodzie ( u ciebie wysoki koszt połozenia kabla) trochę krótsza. W wyniku tego choć nastąpi załamanie światła i chodź leci po dłuższej drodze to będzie leciało najkrócej. Tak samo u Ciebie. Chociaż kabel będzie dłuższy (bo się załamie) to cena będzie najniższa. Nie załamuj się, tylko szukaj w necie wyprowadzenia wzoru Sneliusa na bazie optymalizacji. Na pewno gdzieś będzie, bo to jest klasyczny przypadek.

Przychylam się do głosów, że w każdym z ośrodków (ląd, ocean) najlepsza jest linia prosta. Pozostaje więc znaleźć optymalny punkt na krzywej przecinającej oba obszary. Nie możesz po prostu zrobić przeszukiwania wyczerpującego? Sformułować funkcję celu i wyliczyć wszystkie możliwe punkty (jeśli to problem dyskretny, jeśli nie to w ramach zadanego kroku). Ocenić wszystkie rozwiązania. Wybrać to o najmniejszym koszcie. Chyba, że nie możesz w ten sposób i musisz analitycznie. Wtedy rozwiązanie @mg101 wydaje się być sensownym tropem. W optyce czynnikiem modyfikującym punkt przecięcia są długości odcinków i prędkości w różnych ośrodkach. U Ciebie długości i koszt.

No właśnie kolega Nefarious19 znalazł już minimum w bardzo elegancki sposób, co pokazał w pdf'ie.
I na czystą logikę, jeśli nie pomylił się w obliczeniach, to to musi być prawidłowa odpowiedź. Prostszej drogi się nie znajdzie.
Jedynym wytłumaczeniem jest to, że może nie chodzi tylko o sam wynik, ale konkretną metodę otrzymania go.

Nefarious19, a Wy tam na uczelni to nie macie starszych kolegów? Zazwyczaj jest ktoś obcykany, kto wie o co chodzi w takich zadaniach i wytłumaczy jak krowie na rowie.
Sam nie mam pomysłu jak to rozwiązać.

Rozwiązanie z załączonego pdf-a jest jak najbardziej poprawne, ale nie ma potrzeby liczenia pochodnych a wystarczy policzyć równanie kwadratowe.
Jeżeli wersja puszczenia w wodzi po minimalnej możliwej drodze nie jest najbardziej optymalna (czyli Py > 0 - nazywany na wykresu Px2), to aby łączny koszt poprowadzenia był najniższy, to koszt dla prowadzenia w wodzie i po lądzie musi zostać zrównoważony. Co powoduje że wartość dla |PfwPbrzeg| * koszt (czyli * 1308) musi być równa |PbrzegPpgz| * koszt (czyli * 608).
Dlatego wystarczy wyliczyć 1308 * |PfwPbrzeg| = 608 * |PbrzegPpgz|, co w Twoim wypadku jest spełnione dla mniej więcej podawanej przez Ciebie wartości.

--
Pozdrawiam,
Robert

A jakby linia brzegu była na x1 = 1 a Ppgz = (30,40) to chyba ta teoria nie będzie się aplikowała?
Wydaje mi się że Twoja interpretacja nie jest poprawna.

Panowie, jutro idę na konsulatcje do proawdzącego i zobaczymy co mi powie. Znalazłem rozwiązanie podobnego problemu na youtube. Podejście identyczne do mojego. Spójrzcie sami:



Konsultowałem się również z dwoma fizykami i jednym matematykiem z UŁ. Wszyscy mówią że moje rozwiązanie jest prawidłowe. Ale może prowadzący zna "prawidłowsze". Zobaczymy .

Jest takie powiedzonko.
1) Profesor ma zawsze rację.
2) Jeżeli nie ma racji - patrz punkt 1.